Таблица ⚠️ Брадиса: значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса

Что такое таблица Брадиса 

Использование калькуляторов при сложных расчетах (например, формулах с применением логарифмов) сегодня считается стандартом по умолчанию. Но еще 20-30 лет назад, когда вычислительная техника была распространена не так сильно, на помощь приходили другие способы вычислений — с помощью специальных таблиц, логарифмической линейки или арифмометра.

Определение

Таблица Брадиса — математическое пособие, в котором собраны таблицы, необходимые для работы по курсу математики и для практических вычислений, созданное Владимиром Модестовичом Брадисом.

Свое название они получили от брошюры «Четырехзначные математические таблицы», составленной Владимиром Брадисом. Книга неоднократно переиздавалась в советское время большими тиражами (до 500 000 экземпляров) и широко использовалась в учебном процессе — на уроках алгебры, геометрии и физики.

Функциональные возможности таблицы

Самыми распространенными являются таблицы, содержащие тригонометрические функции (например, синус, косинус, тангенс, котангенс и арктангенс).

В целом, в сборнике Брадиса содержалось более 20 таблиц, в том числе, помогавшие найти значения:

  • значение дробей вида 1/n;
  • квадратов;
  • квадратных корней;
  • площади круга определенного диаметра;
  • радианной меры;
  • мантиссы десятичных логарифмов;
  • номограммы для решения отдельных уравнений.

Таблица синусов и косинусов

Таблица синусов

В силу широкого использования синусов и косинусов в учебных задачах, это самая распространенная из таблиц Брадиса. Она дает значение этих тригонометрических функций для любого острого угла от 0° до 90°. С помощью дополнительных колонок можно находить и более точные спецификации. Это 6', 12',18, 24', 30', 36', 42', 48' и 54' для углов указанного диапазона, например:

  • \(\sin\;10^\circ\;=\;0,1736\). С помощью дополнительных колонок находим — \(\sin\;10^\circ\;12'\;=\;0,1771,\;\sin\;10^\circ\;24'\;=\;0,1805\);
  • \(\sin\;50^\circ\;=\;0,7660\). Обращаясь к дополнительной колонке выясняем, что \(\sin\;50^\circ\;12'\;=\;0,7683,\;\sin\;50^\circ\;24'\;=\;0,7705\).

Если нужны еще более точные показатели, то нужно использовать поправочные коэффициенты, отнимая и прибавляя их к ближайшему табличному значению минут. Используя их, находим:

  • \(\sin\;10^\circ\;15'\;=\;\sin\;10^\circ\;12'\;+\;0,0009\;=\;0,1771+0,0009\;=\;0,1780\);
  • \(\sin\;50^\circ\;22'\;=\;\sin\;50^\circ\;24'-0,0004\;=\;0,7705-0,0004\;=\;0,7701\).

Для нахождения косинусов можно использовать значения в правой колонке, но куда удобнее вычислять через синус угла, дополняющего до 90°. В этом случае:

  • \(\cos\;10^\circ\;=\;\sin\;80^\circ\;=\;0,9848;\)
  • \(\cos\;50^\circ\;=\;\sin\;40^\circ\;=\;0,6428.\)

Аналогично проводят и более точные вычисления, в том числе — с использованием поправочных коэффициентов:

  • \(\cos\;10^\circ\;12'\;=\;\sin\;79^\circ\;48'\;=\;0,9842;\)
  • \(\cos\;10^\circ\;15'\;=\;\sin\;79^\circ\;45'\;=\;\sin\;79^\circ\;48'-0,0002\;=\;0,9842-0,002\;=\;0,9840;\)
  • \(\cos\;50^\circ\;24'\;=\;\sin\;39^\circ\;36'\;=\;0,6374;\)
  • \(\cos\;50^\circ\;22'\;=\;\sin\;39^\circ\;38'\;=\;\sin\;39^\circ\;36'\;+\;0,0004\;=0,6374\;+\;0,0004\;=\;0,6380.\)

 Таблица для тангенсов и котангенсов

Таблица Брадиса

Аналогичным образом с помощью соответствующей таблицы Брадиса можно найти значения тангенса:

  • \(tg\;10^\circ\;=\;0,1763\). Прибегая к помощи дополнительных колонок находим — \(tg\;10^\circ\;12'\;=\;0,1799,\;tg\;10^\circ\;24'\;=\;0,1835\);
  • \(tg\;50^\circ\;=\;1,1918\). Заглянув в дополнительную колонку выясняем, что \(tg\;50^\circ\;12'\;=\;1,2002,\;tg\;50^\circ\;24'\;=\;1,2088\).

Для более точных показателей применяем поправочные коэффициенты (аналогично, как для таблиц синуса и косинуса):

  • \(tg\;10^\circ\;15'\;=\;tg\;10^\circ\;12'\;+\;0,0009\;=\;0,1799\;+\;0,0009\;=\;0,1808\);
  • \(tg\;50^\circ\;22'\;=\;tg\;50^\circ\;24' -0,0014\;=\;1,7705-0,0004\;=\;0,7701\).

С помощью правой колонки таблицы Брадиса со значением тангенсов можно найти котангенс. Альтернативный вариант — вычисление через тангенс угла, дополняющего искомый до 90°:

  • \(ctg\;10^\circ\;=\;tg\;80^\circ\;=\;5,671\). Прибегая к помощи дополнительных колонок находим — \(сtg\;10^\circ\;12'\;=\;5,558,\;сtg\;10^\circ\;24'\;=\;5,449\) (аналогичные результаты могут быть получены, если посмотреть в значение тангенса дополняющих углов — 79° 48' и 79° 36' соответственно);
  • \(ctg\;50^\circ\;=\;0,8391\). Заглянув в дополнительную колонку выясняем, что \(ctg\;50^\circ\;12'\;=\;0,8332,\;ctg\;50^\circ\;24'\;=\;0,8273\) (как вариант, можно уточнить значение тангенса дополняющих углов — 39° 48' и 39° 36').

Важно отметить, что значения тангенсов (и соответствующих им котангенсов) распределены по двум таблицам:

  • тангенсы углов от 0° до 76° (и котангенсы от 90° до 24°);
  • tg от 76° до 90° (и ctg от 24° до 0°).
Примечание

Такое разделение связано с особенностями предоставления информации. Для котангенсов углов, близких к 90° (и котангенсам острых углов) проблематично использовать общие поправки, поэтому значения там даются индивидуально для каждого значения.

Например, в отдельных строках таблицы, без применения поправочных величин, приводятся:

  • \(tg\;80^\circ\;(и\;ctg\;10^\circ)\;=\;5,671\);
  • \(tg\;80^\circ\;1'\;(и\;ctg\;10^\circ\;59')\;=\;5,681\);
  • \(tg\;80^\circ\;2'\;(и\;ctg\;10^\circ\;58')\;=\;5,\;691\);
  • и так далее.

Величину тангенса и котангенса можно узнать и имея в наличии только таблицу Брадиса по синусам и косинусам. Для этого надо воспользоваться формулами:

  • \(tg\;\alpha\;=\;\sin\;\alpha\;/\;\cos\;\alpha\)
  • \(ctg\;\alpha\;=\;\cos\;\alpha\;/\;\sin\;\alpha\).

Подставляя необходимые значения получим:

  • \(tg\;10^\circ\;=\;0,1736\;/\;0,9848\;=\;0,1763\);
  • \(ctg\;50^\circ\;=\;0,6428\;/\;0,7660\;=\;8391\).

Значения от 181 до 360 градусов

Таблицы Брадиса дают значения для углов от 0° до 90°. Остальные величины можно легко найти с помощью формул приведения. В этом случае угол, величину которого необходимо узнать, представляется как сумма (или разность) угла, кратного 90° и острого угла, например, для 140° это будет:

Формулы приведения, которые используются в этом случае, имеют вид:

  • \(\sin\;(90^\circ\;+\;a)\;=\;\cos\;a,\;\sin\;(180^\circ\;-\;\beta)\;=\;\sin\;a\);
  • \(\cos\;(90^\circ\;+\;a)\;=\;-\sin\;a,\;\cos\;(180^\circ\;-\;\beta)\;=\;-\cos\;a\);
  • \(tg\;(90^\circ\;+\;a)\;=\;-ctg\;a,\;tg\;(180^\circ\;-\;\beta)\;=\;-tg\;a\);
  • \(ctg\;(90^\circ\;+\;a)\;=\;-tg\;a,\;ctg\;(180^\circ\;-\;\beta)\;=\;-ctg\;a\).

Для примера можно провести расчет для ситуации, когда угол в 140° представлен как 90° + 50°:

  • \(\sin\;(90^\circ\;+\;50^\circ)\;=\;\cos\;50^\circ\;=\;0,6428\);
  • \(\cos\;(90^\circ\;+\;50^\circ)\;=\;-\sin\;50^\circ\;=\;-0,7660\);
  • \(tg(90^\circ+50^\circ)=-ctg50^\circ=-0,8391\);
  • \(ctg\;(90^\circ\;+\;50^\circ)\;=\;tg\;50^\circ\;=\;1,1918\).

Практические примеры использования таблицы

Таблицам Брадиса легко можно найти применение в современном учебном процессе, например, выполняя школьные уроки.

Задача №1

10-метровая лестница опирается на здание таким образом, что имеет угол наклона 35°. Необходимо узнать расстояние от земли до ее вершины.

Решение

Имеем треугольник, где угол BСA = 90°, BАC = 30°. По определению^

sin ВАС = ВС /АВ

где ВС — высота лестницы, которую нужно найти, а АВ — известная из условия длина.

Таким образом:

\(ВС\;=\;АВ\;х\;\sin\;ВАС\).

Узнав из таблицы Брадиса нужный синус и подставив все известные значения в формулу, можно найти ответ:

ВС (высота лестницы) = 10 м х 0,5736 =  5,736 метров.

Задача №2

Найдете длину тени от маяка высокой 30 м, если солнце находится в 60° над горизонтом.

Решение

Схематически условия задачи можно представить в виде треугольника, с прямым углом ВСА, и ВАС = 55°. По определению:

\( tg\;ВАС\;=\;АВ\;/\;СВ\)

где АВ — высота маяка, а СВ — длина тени.

Отсюда \(СВ\;=\;АВ\;/\;tg\;ВАС\).

Определив по таблице Брадиса нужную величину и подставив в формулу все известные значения, получим:

СВ (длина тени) = 30 м / 1,732 = 17,32 метра.

Таблица Брадиса

Правила пользования таблицами: таблицы дают значения синусов (косинусов) любого острого угла, содержащего целое число градусов и десятых долей градуса, на пересечении строки, имеющей в заголовке слева (справа) соответствующее число градусов, и столбца, имеющего в заголовке сверху (снизу) соответствующее число минут.

Тригонометрические функции sin x и cos x от аргумента в градусах

Таблица Брадиса тригонометрические функции tg x, ctg x от аргумента в градусах

Таблица Брадиса – тангенсы углов, близких к 90°, котангенсы малых углов

Тригонометрические функции от аргумента в радианах

Примеры решения задач

Если же нужно найти значение угла, которого нет в таблице, то выбирается наиболее близкое к нему значение, а на разницу берется поправочное значение из столбца поправок справа (возможная разница – 1′, 2′, 3′).

Замечание. Для косинусов поправка имеет отрицательный знак.

Эти правила справедливы и для нахождения значений тангенсов и котангенсов углов.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советские инженеры постепенно становятся легендой. Многим нынешним обладателям инженерного диплома кажется невероятным, что эти ребята за нищенскую, в общем, зарплату строили гигантские заводы, прокладывали железные дороги и конструировали самолеты и ракеты, которые взлетали и летали, а также корабли, которые бороздили... И делали они это едва ли не с пустыми руками. Что было инструментом советского инженера? Кульман, ватман, карандаш, логарифмическая линейка да таблицы Брадиса.

 Математик

Владимир Модестович Брадис (1890 – 1975)

еще в начале 20-го века придумал способ, позволяющий до минимума сократить утомительные расчеты, которые приходилось производить каждому инженеру до появления калькуляторов. Он выбрал несколько наиболее необходимых для практических расчетов функций и посчитал все их значения в широком интервале аргументов с приемлемой точностью, четыре значащих цифры. Результаты своих расчетов В.М.Брадис представил в виде таблиц. Функции, отобранные В.М.Брадисом для расчетов, были следующие: квадраты и кубы, квадратные и кубические корни, обратная функция 1/x, тригонометрические функции (синусы, косинусы, тангенсы), экспонента и логарифмы Для каждой функции была рассчитана своя таблица. Все таблицы были напечатаны в виде небольшой брошюры. Эта брошюра в советское время переиздавалась едва ли не ежегодно и была очень востребована.

 Таблицы Брадиса имеют одинаковую для всех функций структуру. Значения аргументов находятся в левом столбце и в верхней колонке. Соответствующее значение функции расположено в клетке, находящейся на пересечении столбца и колонки, которые задают значение аргумента.

Таблица Брадиса

Возьмем для примера таблицу синусов. Допустим, следует определить, чему равно значение синуса для угла 10 градусов и 30 минут. Находим в левом столбце значение 10 градусов (11-я строка), а в верхней колонке – 30 минут (6-й столбец). На пересечении 11 строки и 6-го столбца, находим значение функции, 0.1822. Три последних столбца предназначены для уточнения значений минут. Дело в том, что в верхней колонке значения представлены только значения минут, кратные 6. Для определения синуса для других значений аргумента следует прибавить или вычесть поправку из ближайшего значения функции, представленного в таблице. Например, для угла 10 градусов и 32 минуты к уже найденному значению 0.1822 следует прибавить поправку из второго столбика, 6. Итак, синус 10 градусов 32 минут будет равен 0.1822+0.0006=0.1828.

Поскольку синус и косинус, тангенс и котангенс для данного угла взаимосвязаны, по таблице синусов можно определять и значения косинусов, а по таблице тангенсов – значения котангенсов. Но аргумент для косинуса и для котангенса следует искать в правом столбце (четвертом справа) и в нижней строке.

 Аргументы тригонометрических функций в таблицах Брадиса заданы в градусах. Для перевода градусов в радианы значение угла следует умножить на 180 и разделить на 3.1415926. Кстати, таблицы радианной меры угла тоже были сосчитаны В.М.Брадисом и их можно отыскать в брошюре.

 Как видим, таблицы В.М.Брадиса позволяют определять четыре значащих цифры любой функции. Поэтому они называются «четырехзначными». Такой точности расчетов заведомо хватает для 90% инженерных расчетов.

 В настоящее время, когда калькуляторы есть и в часах, и в мобильных телефонах, расчеты функций по таблицам Брадиса можно считать «пережитком прошлого». Но, скажем честно, славного прошлого. Большое ведь видится на расстоянии. И

ракеты тогда все-таки взлетали

...

Опубликовано на сайте

ТопавторtopauthorПолезные ссылки:
  1. Кто придумал таблицы Брадиса?

Как пользоваться таблицей Брадиса

Таблица Брадиса – это по сути не одна таблица, а собирательное название таблиц, созданных математиком В.М.Брадисом в 1921 году, для вычисления значений тригонометрических функций, представленных в градусах. Без них, чтобы найти значение какой либо функции, пришлось бы сделать множество сложных вычислений. Сейчас таблицы Брадиса применяют, в основном, для решения математических задач в средних классах.

1

Для чего нужны таблицы Брадиса?

На практике таблицы Брадиса используются при выполнении сложных инженерных расчетов. Математик Владимир Брадис, облегчил задачу по вычислению сложных функций многим инженерам и не только. В настоящее время все эти функции можно вычислить с помощью калькулятора, даже на обычном телефоне.

2

Порядок расчетов по таблице Брадиса

Таблиц Брадиса существует несколько, их называют “Четырехзначными таблицами”, т.к при вычислении сохранены четыре важные цифры. Есть таблицы для вычисления произведения двузначных чисел, таблицы квадратов и кубов, квадратных корней, значений дробей, косинусов, синусов, тангенсов, котангенсов, логарифмов и другие. Все эти таблицы позволяют не тратить время на утомительные расчеты, а просто найти готовый ответ на пересечении строк и столбцов.

3

Как работать по таблице Брадиса?

Рассмотрим как использовать таблицу Брадиса при расчетах на примере синусов и косинусов. В верхней строке указаны минуты, в крайнем правом столбце – градусы. Три крайних правых столбца являются поправками для более точных вычислений.

  • Дано: найти sin 40°30′ + cos 32°15′
  • Чтобы найти sin 40°30′ в крайнем левом столбце находим значение 40°, в верхней строке 30′ и находим их пересечение. Получаем 0,6494

  • Для нахождения значения косинуса используется эта же таблица, но значения градусов находятся в четвертом столбце от края справа, а значения минут в строке снизу.
  • Находим пересечение 32° и 12′, т.к в таблице используются значения минут, делящиеся на 6. Получаем 0,8462.

  • В этой же строке находим пересечение со столбцом поправки на 3′ и прибавляем к 0,8462, т.к нам необходимо найти значение 15′. Необходимо помнить, что для косинуса поправка будет иметь отрицательный знак. 0,8462+(-0,0005)=0,8457
  • Ответ: sin 40°30′ + cos 32°15′ = 0,6494+0,8457= 1,4951.

Таким образом нет ничего сложного в применении таблиц Брадиса. Основные правила которых – это внимательность при нахождении значений.

Как бы не совершенствовалась вычислительная техника, определение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов с помощью таблицы Брадиса будет всегда актуально.Таблица Брадиса создана выдающимся педагогом-математиком Владимиром Модестовичем Брадисом. Чтобы вы научились пользоваться таблицами Брадиса, которые представлены ниже, рекомендуем сначала прочесть инструкцию.

Таблица брадиса - инструкция

  1. Возьмите саму таблицу Брадиса. Если у вас нет её в напечатанной виде, то воспользуйтесь нашими таблицами брадиса. Откройте соответствующую главу: тангенсы-котангенсы или синусы-косинусы. Для примера возьмем синус.
  2. Таблица Брадиса. Инструкция.

  3. Убедитесь, какой угол нужен Вам для решения задачи. Таблицу Брадиса можно и без проблем применить в том разе, даже когда угол является дробным, то есть его расчет происходит в градусах и минутах. Если величина угла подаётся в радианах, преобразуйте её значения в градусы. Оно будет равняться произведению размера ( считают в радианах) , помноженному на отношение 180-ти градусов на значение π и подаётся общей формулой, а именно : αградрад*180°/π, при этом — αград величина нужного угла (подаётся в градусах), αрад — величина, которая подаётся в радианах.
  4. В таблице Брадиса, Вам будут видны некие рядки, которые будут находиться и по горизонтали, и по вертикали. Обратите внимание на самый крайний ряд, находящийся слева. Вверху левого угла находится слово sin, а под ним расположился столбец из цифр с наименованием градуса. Это целая величина градусов. Отыщите число, которое будет напрямую соответствовать величине целых градусов в уже заданном Вами угле. К примеру, вам дан в задании угол равный 27°18'. Обратите внимание, что в крайнем левом столбце имеется число 27. Потом в самой верхней строчку отыщите число 18. На перекрёстке строчки и столбика Вы сможете увидеть нужное для Вас значение.
  5. Сделайте акцент на то, что градусы в таблице Брадиса идут между собой подряд, а минуты чередуются через шесть. К примеру, 18 минут в таблице подаваться будут, а 19 найти Вы уже не сможете . Чтобы высчитать синус нужного угла, величину минут которого непосредственно не будет кратно 6ти, применяются некие поправки. Они расположились в правой части таблицы. Посчитайте разницу между количеством заданных минут в нужном угле и самом ближайшем угле, где величина минут будет кратна 6ти. Если это различие будет составлять приблизительно 1, 2, 3 минуты, то Вы просто добавьте требуемое значение к конечной цифре величины синуса самого малого угла. Если разность будит близиться к 4 или 5, возьмите величину самого близкого большого угла и вычтите от конечного числа величину первой или второй поправки.

Таблица Брадиса: Косинусы-синусы

Таблица Брадиса:  Косинусы-синусыТаблица Брадиса:  Косинусы-синусыТаблица Брадиса:  Косинусы-синусыТаблица Брадиса:  Косинусы-синусыТаблица Брадиса:  Косинусы-синусыТаблица Брадиса:  Косинусы-синусы

Таблица Брадиса: тангенсы - котангенсы

tg и ctg больших угловТаблица Брадиса: тангенсы - котангенсы

tg и ctg малых угловТаблица Брадиса: тангенсы - котангенсы

Если по пользованию таблицами Брадиса у вас возникли какие то вопросы, то пишите их в комментариях.Спасибо за пользование нашим сервисом.

Москвичей возможно заинтересует - дистанционное образование в москве. Учиться дистанционно - шикарная возможность стать свободнее уже сейчас.

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Добавить комментарий